تقريب الدوال العقدية من فضاء ليبيغ الموزن( V L p,γ) على منحنيات كارلسون

Transcript

1 مجلة جامعة تشرين للبحوث والد ارسات العلمية - سلسلة العلوم األساسية المجلد )73( العدد )( 52 Tishree Uiversity Joural for Research ad Scietific Studies - Basic Scieces Series Vol. (73) No. () 52 تقريب الدوال العقدية من فضاء ليبيغ الموزن( V L,) على منحنيات كارلسون الدكتور محمد علي * الدكتور محمد سويقات ** أحمد كنج *** )تاريخ اإليداع.52 / / 55 قبل للنشر في )205/ 5 / 2 ملخ ص درسنا في هذا البحث مسألة تقريب الدوال العقدية من فضاء ليبيغ الموزن( v L,) حيث < < و () v A )وزن ماكنهوبت( إلى دوال كسرية متعلقة بكثي ارت حدود فابير وذلك على أسرة واسعة من المنحنيات تدعى منحنيات كارلسون كما ويعد هذا العمل بمثابة متابعة لما قام به الباحثان Israfilov وTestici عام 402 في ]2[ حيث درسا تقريب الدوال العقدية من فضاء سميرنوف الموزن (v E,G) على مناطق G محاطة بمنحنيات كارلسون. الكلمات المفتاحية: منحنيات كارلسون فضاء ليبيغ كثي ارت حدود - فابير وزن ماكنهوبت. * أستاذ قسم الرياضيات كلية العلوم جامعة تشرين الالذقية سورية. ** أستاذ قسم الرياضيات كلية العلوم جامعة تشرين الالذقية سورية. *** طالب دراسات عليا)ماجستير( قسم الرياضيات-كلية العلوم - الالذقية سورية. 96

2 تقريب الدوال العقدية من فضاء ليبيغ الموزن( V L,) على منحنيات كارلسون علي سويقات كنج مجلة جامعة تشرين للبحوث والد ارسات العلمية - سلسلة العلوم األساسية المجلد )73( العدد )( 52 Tishree Uiversity Joural for Research ad Scietific Studies - Basic Scieces Series Vol. (73) No. () 52 Aroximatio of Comlex Fuctios from Weighted Lebesgue sace o Carlso Curves Dr. Mohammad Ali * Dr. Mohamed Soueycatt ** Ahmad ij *** (Received 22 / 0 / 204. Acceted 5 / 2 /205) ABSTRACT I this research, we have studied the issue of aroximatio of comlex fuctios from weighted Lebesgue sace L (, v); < < ad v A () (Muehout weight) to ratioal fuctios by usig - Faber olyomials o large grou of curves, which called Carlso curves. This is also cosidered as a follow-u to the wor doe by researchers: Israfilov ad Testici i 204 [4], where they studied aroximatio of fuctios from weighted Smirov sace E (G, v) o domais G with a Carlso curve boudary. Keywords: Carlso curves, Lebesgue sace, - Faber olyomials, Muehout weight. * Professor, Deartmet of Mathematics, Faculty of Sciece, Tishree Uiversity, Lattaia, Syria. ** Professor, Deartmet of Mathematics, Faculty of Sciece, Tishree Uiversity, Lattaia, Syria. *** Postgraduate studet, Deartmet of Mathematics, Faculty of scieces, Tishree Uiversity, Lattaia, Syria. 97

3 Tishree Uiversity Joural. Bas. Scieces Series مجلة جامعة تشرين العلوم األساسية المجلد )73( العدد )9( 592 مقدمة: تعد أسر المنحنيات أحد أهم العناصر الرئيسية في نظرية تقريب الدوال العقدية. نتناول في هذا البحث أسرة منحنيات كارلسون والتي تعرف من خالل وجود عالقة بين طول جزء المنحني الذي يقع داخل أي دائرة مركزها نقطة كيفية من هذا المنحني وبين نصف قطر هذه الدائرة. كان للباحث David الدور األساسي في تسليط الضوء على أسرة منحنيات كارلسون فقد برهن في ]4[ أن الشرط الالزم والكافي ليكون مؤثر كوشي الشاذ محدودا في الفضاء () L هو أن يكون منحني كارلسون. بينت هذه المبرهنة أن أسرة منحنيات كارلسون هي أوسع أسرة من المنحنيات يمكن من أجلها تطبيق نظرية بريفالف وعالقات سوخوتسكي ]7[. ومن الجدير بالذكر أن أسرة منحنيات كارلسون استخدمت مؤخ ار من قبل العديد من الباحثين في مجال نظرية التقريب. نذكر منهم على سبيل المثال الباحثين Mamedhaov وDadashov في ]6[ عام 40 والباحثين Israfilov وTestici عام 402 في ]2[. ندرس في هذا البحث تقريب الدوال العقدية من فضاء ليبيغ الموزن (v L,) إلى دوال كسرية متعلقة بكثي ارت حدود - فابير على أسرة منحنيات كارلسون. وننوه إلى أننا من أجل الوصول إلى النتيجة الرئيسة في هذا العمل قمنا بإثبات بعض المبرهنات الالزمة وعندها أتى برهان النتيجة الرئيسية بشكل مبسط ومختصر. كما أن الثوابت المستخدمة في هذا البحث, 2 c, c كلها موجبة ومختلفة وال تؤثر على د ارسة التقريب. أهمية البحث وأهدافه: لهذا البحث أهمية في نظرية تقريب الدوال العقدية فمن خالل معرفة األسرة التي تنتمي إليها الدالة العقدية يمكننا إيجاد كثيرة حدود أو دالة كسرية قريبة منها بدرجة كافية أما هدف البحث فيكمن في د ارسة تقريب أسرة دوال ليبيغ الموزنة (v L,) إلى دوال كسرية متعلقة بالمجاميع الجزئية لمتسلسالت - فابير. ط ارئق البحث ومواده: يقع البحث ضمن اختصاص الرياضيات النظرية وبشكل خاص ضمن التحليل الدالي ونظرية لذلك فالطرق المتبعة تعتمد بشكل أساسي على أدبيات نظرية تقريب الدوال العقدية. تعاريف ومفاهيم أساسية: تعريف من أجل أي نقطة z منحني كارلسون: ومن أجل ][ ي قال عن منحني جوردان المحدود الطول يوجد ثابت كل > 0 r بحيث يكون موجب تقريب الدوال أنه منحني كارلسون إذا كان (z, r). r (z, r) تعريف بالرمز () L P يمثل طول جزء المنحني ليبيغ فضاء 5 الواقع داخل الدائرة التي مركزها النقطة z ونصف قطرها r. حيث () < < L P : ]2[ ليكن منحني جوردان في المستوي العقديC يرمز ألسرة جميع الدوال العقدية :f C المحققة للشرط اآلتي: f(z) dz < 979

4 تقريب الدوال العقدية من فضاء ليبيغ الموزن( V L,) على منحنيات كارلسون علي سويقات كنج f إنها تنتمي إلى أسرة وي عرف النظيم على الفضاء () L P بالشكل اآلتي: f LP () = ( f(z) dz ) الموزن v) < < L (, ]2[: ي قال تعريف 7 ليبيغ فضاء الدوال v) L P (, إذا كانت الدالة () f. v L وتسمي v بدالة الوزن. ومن المعلوم أن الفضاء عن الدالة (v L P,) يمثل فضاء باناخ إذا عرف عليه النظيم اآلتي: ]5[ f LP (, ) = ( f(z). v(z) dz ) أسرة دوال الوزن () < < A P ][: تعرف أسرة دوال الوزن () A P تعريف 4 الدوال الموجبة والقيوسة [,0] :v التي تحقق شرط ماكنهوبت اآلتي: كل أسرة بأنها su su ( t r>0 r v (τ) dτ ) ( (t,r) r q v q (τ) dτ ) < (t,r) (Muehout weight أوزن ماكنهوبت A + وتسمى أسرة دوال الوزن حيث = << q fuctios).]0[ وكما هو معلوم فإذا كان () v A فإن () v q L q نورد فيما يلي بعض الرموز والمصطلحات المستخدمة في هذا البحث ]2[ C أ( ليكن منحني جوردان في المستوي العقدي المساس بعمومية المسألة أن ب ولنرمز ب G = it و G = ext ولنفترض دون ولنرمز للدائرة الواحدية أي 0 G. D = ext γ و D = it γ وبالرمز = { w = u + iv C, u 2 + v = } φ(z) ب( نرمز ب φ(z) w = للدالة التي تنقل بشكل محافظ G إلى D وتحقق > 0 lim z z φ. للدالة العكسية للدالة ψ ولنرمز ب ( )φ = lim zφ z 0 (z) > 0 D G w = φ (z) نرمز ب ج( للدالة العكسية للدالة للدالة التي تنقل بشكل محافظ وتحقق إلى -. φ - ψ φ ولنرمز ب (0) = تعريف 2 كثي ارت حدود فابير:] 7 [ الحدود ذات القوى غير السالبة في منشور لو ارن للدالة ت عرف كثي ارت حدود فابير (z) F, من الدرجة بأنها مجموع.z = في جوار الالنهاية [φ(z)] φ (z) ومن المعلوم أنه يمكن تمثيل كثي ارت حدود - فابير بالشكل التكاملي اآلتي ]7[: F, (z) = φ (z) (φ (z)) + 2πi φ (ξ) (φ (ξ)) ξ z F, ( z ) = [φ (z)] 2 (φ (z)) φ 2 (ξ) (φ (ξ)) 2πi ξ z dξ z G () dξ z G\{0} (2) 975

5 Tishree Uiversity Joural. Bas. Scieces Series مجلة جامعة تشرين العلوم األساسية المجلد )73( العدد )9( 592 النتائج والمناقشة: لنعرف من أجل كل (v f L P,) على الدائرة الواحدية الدالتين: f (w) = f[ ψ (w)] ( ψ (w)) w 2 (4) و f 0 (w) = f [ ψ(w) ] (ψ (w)) (3) f تنتميان إلى أسرة دوال ليبيغ الموزن على الدائرة الواحدية., f 0 تبي ن المبرهنة اآلتية أن الدالتين f حيث L (, v و( f 0 L ( مبرهنة : إذا كان( v f L P (, فإن ) 0, v.v (w) = v [ψ (w)] و v 0 (w) = v[ψ(w)].f 0 L ( البرهان: لنفرض أن v) f L P (, ولنبرهن أن ) 0, v f 0 (w)v 0 (w) dw = f[ ψ(w) ] v[ψ(w)] ψ (w) dw وبإج ارء التحويل ψ(w) z = نجد أن: f [(ψ(w)] v[ψ(w)] ψ (w) dw = f(z)v(z) P dz v) f L P (, فإن < dz f(z)v(z) 〱 وبالتالي: وبما أن على أي تنتمي إلى v f(z) dz < < f 0 (w)v 0 (w) dw < f L (, v ) وبنفس الطريقة نبرهن أن f 0 L ( أي أن ) 0, v تبين المبرهنة اآلتية أن أسرة دوال ليبيغ الموزنة مع وزن ماكنهوبت قابلة للمكاملة لوبيغيا الفضاء ().L مبرهنة 5 : إذا كان v) f L P (, و () v A فإن (). f L البرهان: باالستفادة من مت ارجحة هولدر نجد أن: = f(z) v(z) v(z) dz ( f(z) v(z) q q dz ). ( v(z) dz ).. (5) وبما أن v) f L P (, نجد أن: f(z)v(z) dz < (6) وحسب الفرض لدينا () v A وبالتالي () v q L q أي أن: v(z) dz < (7) وباالستفادة من العالقتين )6( و )3( نجد من العالقة )5( أن: f(z) dz < f L (, منحني كارلسون و( v f L () :]5[ أي أن مبرهنة مساعدة إذا كان حيث و = f(z) S يكون موجودا 2πi f(ξ) dξ, z ξ z () A فإن تكامل كوشي الشاذ للدالة f المعرف بالعالقة ومحدودا أي يوجد ثابت > 0 c بحيث تتحقق المت ارجحة اآلتية: S f LP (,V) c f L(,v) (8) 97

6 تقريب الدوال العقدية من فضاء ليبيغ الموزن( V L,) على منحنيات كارلسون علي سويقات كنج مبرهنة مساعدة ]7[: 5 إذا كان () f L عندئذ لتكامل نوع كوشي قيمتان حدوديتان من جهتي المنحني نرمز لهما ب + f f, وهما تحليليتان في G, G على الترتيب وترتبطان مع الدالة f من خالل عالقات سوخوتسكي اآلتية: f + (z) = S f(z) + 2 f(z) f (z) = S f(z) 2 f(z). (9) + 0 f و فإن ) 0 E (D, w f f + و E (D, w ) f(z) = f + (z) f (z) } w 0 A P ( f 0 و ) L ( مبرهنة مساعدة :]7[ 7 إذا كان ) 0, w. f 0 E (D, w 0 ) فإن w A P ( ) f و L ( ), w إذا كان وبالمثل.E (D, w ) L ( تعريف ]4[ 6 معامل االستم اررية في الفضاء (v, < < f L (, v) الفضاء إذا كان حيث و ) 0 v A (γ عندئذ يعرف معامل االستم اررية في L P ( بالعالقة اآلتية:, v) Ω r (f, h),v = su δ δ h σ r f(w) L(γ0,v) حيث الدالة f(w) σ r δ تعطى بالعالقة: σ r δ f(w) = δ δ Δ t r f(w) dt, δ > 0, r N 0 و f(w) r t تعطى بالعالقة: r t f(w) = r ( ) r+s+ ( r s ) f(w e ist ) r N s=0 ومن أجل v) f L (, فإننا نعرف معامالت االستم اررية في الفضاء (v L,) بالعالقتين اآلتيتين: Ω r (f, h),v = Ω r (f 0 +, h),v0 (0) Ω (f, r h),v = Ω r (f +, h),v () و ) 0 < < v A (γ ]4[ مبرهنة مساعدة 4 إذا كان v) g E P (D, موجب > 0 2 c بحيث تتحقق المت ارجحة اآلتية: يوجد ثابت عندئذ g(w) a w c 2 Ω r (g, ) (2) L (,v),v g في جوار الصفر. هو مجموع أول حيث أن a w من مالحظة: عالقات سوخوتسكي وجدنا أن حد في منشور تايلور للدالة وبالتالي يكفي من أجل تقريب f(z) = f + (z) f (z) على G, G وألجل الوصول إلى هذه الغاية نقوم بتشكيل. لتقريب الدالة + f f وكثيرة حدود جبرية بقوى لتقريب الدالة z a F, (z) ولتكن z الدالة f على المنحني أن يتم تقريب الدالتين + f f, كثيرة حدود جبرية بقوى z لتقريب الدالة + f نقوم في المبرهنة اآلتية بتشكيل كثيرة حدود جبرية بقوى مبرهنة 7 : إذا كان منحني كارلسون و v) f L (, حيث () v A P v 0 A P ( فإن: و ) 97

7 Tishree Uiversity Joural. Bas. Scieces Series مجلة جامعة تشرين العلوم األساسية المجلد )73( العدد )9( 592 a F, (z) = (φ (z)) a φ (z) + S ( (φ (z)) [ a φ (z) f 0 + (φ(z))]) 2 (φ (z)) [ a φ + (z) f 0 (φ(z))] (φ (z)) f 0 (φ(z)) + f (z) (3) تعطى بالعالقة: a = 2πi a w = f 0 L (, v 0 ) فإنه من المبرهنة) 0 ( ينتج أن v A P () f 0 وحسب المبرهنة المساعدة )4( نجد أن L ( ) f 0, f 0 + قيمتين حدوديتين f 0 حيث (z) F, البرهان: بما أن كثي ارت حدود -فابير واألمثال f 0 (w) w + dw. v) 峮 L (, و وباالستفادة من المبرهنة )4( نجد أن f 0 و( v 0 A ( تكامل كوشي الشاذ للدالة تحققان العالقة اآلتية: على يكون موجودا ولتكامل نوع كوشي للدالة a F, (t) = (φ (t)) a ومن العالقة ( )7 وبوضع ψ(w) z = نجد أن: + f 0 (w) = f 0 (w) f0 (w) (4) f(z) = f 0 [φ(z)] (φ (z)) (5) وبتعويض العالقة )02( في العالقة )05( نجد أن: f(z) = [f + 0 (φ(z)) f 0 (φ(z))] (φ (z)) (6) لتكن G t نقطة كيفية وباستخدام العالقتين )0( و )06( نجد أن: = (φ (t)) a φ (t) φ (t) + 2πi (φ (ξ)) + 2πi (φ (ξ)) a φ (ξ) dξ = ξ t [ a φ (ξ) f + 0 (φ(ξ))] dξ ξ t + 2πi (φ (ξ)) f 0 (φ(ξ)) dξ + ξ t 2πi f(ξ) dξ (7) ξ t 2πi (φ (ξ)) ξ t G ((ξ) φ) دالة تحليلية في f 0 (φ(ξ)) وبما أن فإن: f 0 (φ(ξ)) dξ = (φ (t)) f 0 (φ(t)) (8) وباالستفادة من العالقة )9( نجد أن: 2πi f(ξ) dξ = ξ t 2πi f+ (ξ) dξ ξ t 2πi f (ξ) dξ = f (t) (9) ξ t وبتعويض العالقتين )0( و) 09 ( في العالقة )03( نجد أن: 972

8 تقريب الدوال العقدية من فضاء ليبيغ الموزن( V L,) على منحنيات كارلسون علي سويقات كنج a F, (t) = (φ ( 〱 )) a φ (t) (φ (t)) f 0 (φ(t)) + f (t) + 2πi (φ (ξ)) [ a φ + (ξ) f 0 (φ(ξ)) ] dξ ξ t وبأخذ النهاية لطرفي العالقة األخيرة عندما t z على طول المنحني وباالستفادة من )9( نجد أن: a F, (z) = (φ (z)) a φ (z) + S ( (φ (z)) [ a φ (z) 2 (φ (z)) [ a φ + (z) f 0 (φ(z))] (φ ( 抾 )) f 0 (φ(z)) + f (z) v 0 A P ( فإنه ) f + f 0 + (φ(z))]) نقوم في المبرهنة اآلتية بتقريب الدالة إذا كان مبرهنة 4 : منحني كارلسون و إلى كثيرة الحدود المشكلة في المبرهنة )7( حيث () v A P و f L (, v) f + (z) a F, (z) L P (,v) c 3 Ω r (f, ),v يوجد ثابت موجب c 3 بحيث... حيث (z) a F, في الفضاء v).l (, كثيرة الحدود التي شكلناها في المبرهنة )7( و,f) Ω r معامل االستم اررية ),v f + (z) a F, (z) البرهان: من العالقة )07( وباالستفادة من العالقتين )9( و )06( نجد أن: = 2 (φ + (z)) (f0 (φ(z)) a φ (z)) + S ((φ + (z)) [f0 (φ(z)) a φ (z)]) f + (z) a F, (z) وبأخذ النظيم في الفضاء (v L,) لطرفي العالقة األخيرة نجد أن: L (,v) + S ((φ + (z)) [f0 (φ(z)) a φ (z)]) = 2 (φ + (z)) [f0 (φ(z)) a φ (z)] L (,v) L (,v) f + (z) a F, (z) F=0 L (,v) f + (z) a F, (z) وباالستفادة من العالقة )( نجد أن: (c + 2 ) (φ + (z)) [f0 (φ(z)) a φ (z)] L (,v) وبإج ارء التحويل( φ(z w = نحصل على: (c + 2 ) f + 0 (w) a w L (,v 0 ) L (,v) 976

9 Tishree Uiversity Joural. Bas. Scieces Series مجلة جامعة تشرين العلوم األساسية المجلد )73( العدد )9( 592 f + (z) a F, (z) ) 2 c 3 = c 2 (c + نجد وباالستفادة من المبرهنة المساعدة )2( يكون لدينا: c 2 (c + 2 ) Ω r (f, 0+ ) L (,v),v 0 ومن العالقة )0( وبوضع أن: f + (z) a F, (z) c 3 Ω r (f, ) L P (,v),v. لتقريب الدالة f a F, z نقوم في المبرهنة اآلتية بتشكيل كثيرة حدود جبرية بقوى ولتكن ) ( z v A ( فإن: مبرهنة 2 : إذا كان منحني كارلسون و( v f L (, حيث () v A و( a F K,P ( z ) = 2 (φ (z)) (φ (z)) 2 [ a f و L (, v ) = (φ (z)) (φ (z)) 2 a = φ (z) S ((φ (z)) (φ (z)) 2 [ a = f + (z) (20) تعطى بالعالقة اآلتية: = φ (z) f + (φ (z))]) φ (z) f + (φ (z))] (φ (z)) (φ (z)) 2 F (φ (z)) واألمثال a z a = 2πi w = -فابير بقوى f (w) dw w+ v A () علما أن ) z F, ( بما أن البرهان: كثي ارت حدود و فإنه من المبرهنة )0( ينتج أن f L (, v) f وحسب المبرهنة المساعدة )4( نجد أن تكامل L ( v A ( وباالستفادة من المبرهنة )4( نجد أن ) ) f, f + قيمتين حدوديتين f f كوشي الشاذ للدالة العالقة اآلتية: على يكون موجودا ولتكامل نوع كوشي للدالة تحققان f (w) = f + (w) f (w) (2) ومن العالقة )2( وبوضع (w) z = ψ نجد أن: f(z) = f [φ (z)] (φ (z)) 2 (φ (z)). (22) وبتعويض العالقة )2( في العالقة )44( نجد أن: f(z) = [f + (φ (z)) f (φ (z))] (φ (z)) 2 (φ (z)) (23) لتكن t G نقطة كيفية وباستخدام العالقتين )4( و )47( نجد أن: 977

10 تقريب الدوال العقدية من فضاء ليبيغ الموزن( V L,) على منحنيات كارلسون علي سويقات كنج a = F, ( ) t = (φ (t )) (φ (t )) 2 a = = (φ (t )) (φ (t )) 2 a = (φ 2πi (ξ)) (φ (ξ)) 2 ξ t φ (t ) φ (t ) = a φ (ξ) 2πi (φ (ξ)) (φ (ξ)) 2 [ = a φ (ξ) f + (φ (ξ))] dξ ξ t 2πi (φ (ξ)) (φ (ξ)) 2 f (φ (ξ)) dξ ξ t 2πi f(ξ) dξ (24) ξ t φ) دالة تحليلية في G فإن: (ξ)) (φ (ξ)) 2 f (φ وبما أن ((ξ) (φ 2πi (ξ)) (φ (ξ)) 2 f (φ (ξ)) dξ = (φ ξ t (t )) 㐲 dξ (φ (t )) 2 f (φ (t )) (25) وباالستفادة من العالقة )9( نجد أن: 2πi f(ξ) ξ t dξ = 2πi f+ (ξ) dξ ξ t 2πi f (ξ) dξ = f + (t ξ t ) (26) وبتعويض العالقتين )45( و) 46 ( في العالقة )42( نجد أن: a = F, ( ) = (φ t (t )) (φ (t )) 2 a φ (t ) = (φ 2πi (ξ)) (φ (ξ)) 2 [ a φ + = (ξ) f (φ (ξ))] dξ ξ t (φ (t )) (φ (t )) 2 f (φ (t ) f + (t ) وبأخذ النهاية لطرفي العالقة األخيرة عندما t z على طول المنحني وباالستفادة من )9( نجد: 97

11 Tishree Uiversity Joural. Bas. Scieces Series مجلة جامعة تشرين العلوم األساسية المجلد )73( العدد )9( 592 a = F 〱,P ( z ) = (φ (z)) (φ (z)) 2 a = φ (z) S ((φ (z)) (φ (z)) 2 [ a 2 (φ (z)) (φ (z)) 2 [ a = = f + (z) إلى كثيرة الحدود الجبرية المشكلة في المبرهنة )5( φ (z) f + (φ (z))]) φ + (z) f (φ (z))] (φ (z)) (φ (z)) 2 f (φ (z)) f نقوم في المبرهنة اآلتية بتقريب الدالة v A ( فإنه يوجد مبرهنة 6 : إذا كان منحني كارلسون و( v f L (, حيث () v A و( Ω r (f, ),v معامل االستم اررية f (z) + a = f (z) + a f (z) + a F K,P ( z ) = LP (,v) = F, ( z ) c 4 Ω r (f, ) L P (,v),v ثابت موجب c 4 حيث ( z ) بحيث... كثيرة الحدود التي شكلناها في المبرهنة )5( و a F, في الفضاء v).l (, البرهان: من العالقة )4( وباالستفادة من العالقتين )9( و )47( يكون: F K,P ( z ) = 2 (φ (z)) (φ (z)) 2 ( a φ + (z) f (φ (z))) = S ((φ (z)) (φ (z)) 2 [ a φ + (z) f (φ (z))]) = وبأخذ النظيم في الفضاء (v L,) لطرفي العالقة األخيرة يكون: = 2 (φ (z)) (φ (z)) 2 ( a = + S ((φ (z)) (φ (z)) 2 [ a φ (z) f + (φ (z))) = L (,v) φ (z) f + (φ (z))]) L (,v) وباالستفادة من العالقة )( نجد أن: 97

12 تقريب الدوال العقدية من فضاء ليبيغ الموزن( V L,) على منحنيات كارلسون علي سويقات كنج f (z) + a = f (z) + a F, ( z ) L (,v) (c + 2 ) (φ(z) (φ (z)) 2 [ a φ + (z) f (φ (z))] = f (z) + a = = L (,v) وبإج ارء التحويل (z) w = φ نجد أن: F, ( z ) (c + 2 ) f L (,v) F, ( z ) (c + 2 ) f L (,v) + (w) a w = L P (,v ) وباالستفادة من المبرهنة المساعدة )2( نجد أن: + (w) a w = L P (,v ) c 2 (c + 2 ) Ω r (f +, ),v ) 2 c 4 = c 2 (c + نجد أن: f (z) + a = F, ( z ) c 4 Ω r (f, ) L,v (,v) دوال كسرية. ومن العالقة )0( وبوضع سنعرض اآلن المبرهنة الرئيسة في هذا البحث مبرهنة إذا كان التي تختص بتقريب الدوال العقدية من فضاء ليبيغ الموزن إلى v A () حيث < < f L P (, v) منحني كارلسون و v 0, v A ( عندئذ من أجل كل عدد طبيعي N يوجد ثابت موجب c 5 ودالة كسرية f) R (z, بحيث و( تتحقق المت ارجحة اآلتية: f R (., f) L (,v) c 5 [Ω 敤 (f, ) + Ω r (f, )] : R (z, f) = a F, (z) + واستخدام العالقة = a البرهان: بوضع (, F z ) f(z) = f + (z) f (z) وباالستفادة من المبرهنتين )2( و )6( يكون لدينا: f(z) R (z, f) LP (,v) f + (z) a F, (z) L (,v) + f (z) + a = c 3 Ω r (f, ) + c 4 Ω r (f, ) c 5 [Ω r (f, ) + Ω r (f, )] :7 F, ( z ) L P (,v) حيث{.c 5 = max {c 3, c 4 االستنتاجات والتوصيات: 9

13 Tishree Uiversity Joural. Bas. Scieces Series مجلة جامعة تشرين العلوم األساسية المجلد )73( العدد )9( 592 توصلنا في هذا البحث إلى تقريب الدوال العقدية من فضاء ليبيغ الموزن على أسرة منحنيات كارلسون. ونوصي بد ارسة تقريب الدوال العقدية من فضاء أورليتش( ) L M على منحنيات كارلسون أو على منحنيات ديني الملساء. الم ارجع: [] BÖTTCHER.A; KARLOVICH.A.Y. Carleso Curves, Mucehout Weights, ad Toelitz Oerators. Sriger Basel AG, Washigto D.C, 997, 407. [2] DAVID.G. Oerateurs itegraux sigulers sur certaies courbes du la comlexe. Vol 7 (4), A. Sci. Ecole Norm. Su, 984, [3] ISRAFILOV. D.M. Aroximatio by -faber olyomials i the weighted E G, W ad Bieberbach Polyomials. Vol 7, Costr. Arox. 200, 335- smirov class 35. P [4] ISRAFILOV.D.M; TESTICI.A. Aroximatio i Weighted Smirov Classes. Vol 59, Comlex Variables ad Ellitic Equatios. 204, -4. [5] MAMEDKHANOV.J.I; DADASHOVA.I.B. Ratioal Aroximatio o Closed Curves. Vol 2(3), Alied Mathematics, 202, [6] MAMEDKHANOV.J.I; DADASHOVA.I.B. Some roerties of the otetial oerators i Morrey saces defied o Carlso curves. Vol 55,Comlex Variables ad Ellitic Equatios. 200,